Объем тетраэдра. Объем тетраэдра


Объем тетраэдра - формулы, примеры расчета, калькулятор

Рассмотрим произвольный треугольник ABC и точку D, не лежащую в плоскости этого треугольника. Соединим отрезками эту точку с вершинами треугольника ABC. В результате получим треугольники ADC, CDB, ABD. Поверхность ограниченная четырьмя треугольниками  ABC, ADC, CDB и ABD называется тетраэдром и обозначается DABC.тетраэдрТреугольники, из которых состоит тетраэдр, называются его гранями.Стороны данных треугольников называют ребрами тетраэдра. А их вершины – вершинами тетраэдра

Тетраэдр имеет 4 грани, 6 ребер и 4 вершины.Два ребра, которые не имеют общей вершины, называются противоположными.Зачастую для удобства, одну из граней тетраэдра называют основанием, а оставшиеся три грани боковыми гранями.

Таким образом, тетраэдр – это простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника.

тетраэдрНо также верно и утверждение, что любая произвольная треугольная пирамида является тетраэдром. Тогда также верно, что тетраэдром называют пирамиду, в основании которой лежит треугольник.

Высотой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой, расположенной на противоположной грани и перпендикулярный к ней.Медианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой пересечения медиан противоположной грани.Бимедианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет середины скрещивающихся ребер тетраэдра.

Так как тетраэдр – это пирамида с треугольным основанием, то объем  любого тетраэдра можно рассчитать по формуле

V=1/3 SH ,

где

  • S – площадь любой грани,
  • H – высота, опущенная на эту грань

Правильный тетраэдр — частный вид тетраэдра

Тетраэдр, у которого все грани равносторонние треугольник называется правильным.Свойства правильного тетраэдра:

  • Все грани равны.
  • Все плоские углы правильного тетраэдра равны 60°
  • Так как каждая его вершина является вершиной трех правильных треугольников, то сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°
  • Любая вершина правильного тетраэдра проектируется в ортоцентр противоположной грани (в точку пересечения высот треугольника).

тетраэдр

Пусть нам дан правильный тетраэдр ABCD с ребрами равными a. DH – его высота.Произведем дополнительные построения BM – высоту треугольника ABC и DM – высоту треугольника ACD.Высота BM равна BM и равна a sqrt{3}/2Рассмотрим треугольник BDM, где DH, являющаяся  высотой тетраэдра также и высота данного треугольника.Высоту треугольника, опущенную на сторону MB можно найти, воспользовавшись формулой

h_BM=2sqrt{p(p-BM)(p-DM)(p-BD)}/BM, где BM=a sqrt{3}/2, DM=a sqrt{3}/2, BD=a,p=1/2 (BM+BD+DM)= 1/2(a sqrt{3}/2+a sqrt{3}/2+a)=1/2a( sqrt{3}+1) Подставим эти значения в формулу высоты. Получим h_BM=2sqrt{1/2a( sqrt{3}+1)(1/2a( sqrt{3}+1)-a sqrt{3}/2 )(1/2a( sqrt{3}+1)-a sqrt{3}/2 )(1/2a( sqrt{3}+1)-a)}/(a sqrt{3}/2) Вынесем 1/2a. Получим

2sqrt{1/2a( sqrt{3}+1)1/2a( sqrt{3}+1-sqrt{3})1/2a(sqrt{3}+1-sqrt{3})1/2a( sqrt{3}-1))/(a sqrt{3}/2) 2sqrt{(1/2a)^{4}( sqrt{3}+1)*1*1*( sqrt{3}-1)}/(a sqrt{3}/2) Применим формулу разность квадратов2sqrt{(1/2a)^{4}*2}/(a sqrt{3}/2) После небольших преобразований получим(2a^{2}sqrt{2}*2)/(4a sqrt{3}) = sqrt{2/3}aDH = sqrt{2/3}aОбъем  любого тетраэдра можно рассчитать по формулеV=1/3 SH,где S=1/2aa sqrt{3}/2=  sqrt{3}/4a^{2},H=a sqrt{3}/2Подставив эти значения, получимV=1/3 sqrt{3}/4a^{2}a sqrt{3}/2 =sqrt{3}/12 a^{3}

Таким образом формула объема для правильного тетраэдра

V=sqrt{3}/12 a^{3}

где a –ребро тетраэдра

Вычисление объема тетраэдра, если известны координаты его вершин

Пусть нам даны координаты вершин тетраэдраA_1(x_1,y_1,z_1),A_2(x_2,y_2,z_2),A_3(x_3,y_3,z_3)Из вершины A_1  проведем векторы overline{A_1A_2}, overline{A_1A_3}, overline{A_1A_4}. Для нахождения координат каждого  из этих векторов вычтем из координаты конца соответствующую координату начала. Получим overline{A_1A_2}(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)overline{A_1A_3}(x_3-x_1,y_3-y_1,z_3-z_1)overline{A_1A_4}(x_4-x_1,y_4-y_1,z_4-z_1)

 Геометрических смысл смешенного произведения трех векторов заключается в следующем – смешенное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.Так как тетраэдр есть пирамида с треугольным основанием, а объем пирамиды в шесть раз меньше объема параллелепипеда, то тогда имеет смысл следующая формула

V= delim{|}{overline{A_1A_2},overline{A_1A_3},overline{A_1A_4}}{|}

delim{|}{overline{A_1A_2},overline{A_1A_3},overline{A_1A_4}}{|}=delim{|}{matrix{3}{3}{x_2-x_1 y_2-y_1 z_2-z_1 x_3-x_1 y_3-y_1 z_3-z_1 x_4-x_1 y_4-y_1 z_4-z_1}}{|}

2mb.ru

Объем тетраэдра

В геометрии тетраэдром называется правильный многогранник, который имеет четыре грани, представляющих собой равносторонне треугольники. Из этого следует, что все ребра тетраэдра имеют одинаковую длину, а все его грани – одинаковую площадь. Это геометрическое тело и его основные свойства изучаются на школьных уроках геометрии, а вот в жизни оно «в чистом виде» встречается не так уж часто. Вернее, тетраэдр зачастую просто не столь заметен и очевиден, как, к примеру, шар или параллелепипед.

Тем не менее, в технике это геометрическое тело встречается достаточно часто. К примеру, форму тетраэдров имеют оптические элементы, являющиеся основой конструкции катафотов. Благодаря особенностям расположения граней тетраэдры отражают свет в ту же самую точку, откуда он исходит, и поэтому кажется, что они светятся сами. Катафоты нашли очень широкое применение в качестве устройств обеспечения безопасности дорожного движения.

Как найти объем тетраэдра

Нахождение объема тетраэдра

 

 

 

a – ребро тетраэдра

V – объем тетраэдра

 

Поскольку тетраэдр по своей природе является исключительно жесткой статической формой, то это свойство достаточно широко используется в технике. К примеру, стержни многих несущих металлоконструкций располагаются именно в форме тетраэдров, и благодаря этому инженерам удается создать легкие и исключительно прочные фермы мостов и перекрытий различных сооружений.

Кристаллические решетки многих прочных природных минералов также имеют форму тетраэдра. Одним из них является алмаз, в котором атомы располагаются как раз в вершинах этого геометрического тела. Интересно, что графит также состоит из атомов углерода, то есть его химический состав аналогичен химическому составу алмаза, однако по прочностным характеристикам он очень существенно уступает последнему именно из-за того, что форма его кристаллической решетки другая. Поэтому производство искусственных алмазов из графита заключается как раз в упорядочивании атомов углерода таким образом, чтобы они образовывали тетраэдры.

Форму этого геометрического тела имеет и расположение плодов некоторых растений в гроздьях. К примеру, грецкие орехи часто находятся в таком положении, что их центры находятся в вершинах тетраэдра.

Сейчас в России и некоторых зарубежных странах выпускается молочная упаковка, также имеющая форму тетраэдра. Основой для ее изготовления является труба из специального материала, напоминающего тот, который применяется при изготовлении так называемых «тетрапаков». По мере того, как она заполняется молоком или сливками, специальные устройства запаивают ее таким образом, что соседние швы являются перпендикулярными друг другу, и в итоге готовые пакеты имеют форму тетраэдра.

Классическим тетраэдром является также и головоломка, известная, как «Пирамидка Рубика», «Японский тетраэдр» и «Молдавская пирамида». Известный венгерский архитектор изобретатель, впрочем, не имеет к ней никакого отношения, хотя принцип, на котором она основана, практически такой же, что и тот, который используется в его знаменитом кубике. На самом деле эта игрушка была в 1972 году разработана немцем Уве Меффертом, затем, независимо от него, изобретена молдавским инженером А.А. Ордынцем, а с 1981 года производится компанией Tomy Toys, штаб-квартира которой располагается в Японии.

simple-math.ru

Объём тетраэдра

Из основной формулы для объёма тетраэдра

(1),

 

где S – площадь любой грани, а H – опущенная на нее высота, можно вывести еще целый ряд формул, выражающих объём через различные элементы тетраэдра. Приведем эти формулы для тетраэдра ABCD. 

(2) ,

где ∠(AD,ABC) – угол между ребром AD и плоскостью грани ABC;

(3) ,

где ∠(ABC,ABD) – угол между гранями ABC и ABD;

(4) ,

где |AB,CD| – расстояние между противоположными ребрами AB и CD, ∠(AB,CD) – угол между этими ребрами.

 

Формулы (2)–(4) можно использовать для нахождения величин углов между прямыми и плоскостями; особенно полезна формула (4), с помощью которой можно находить расстояние между скрещивающимися прямыми AB иCD.

Формулы (2) и (3) аналогичны формуле S = (1/2)absin C для площади треугольника. Формуле S = rp аналогична формула

(5) ,

где r – радиус вписанной сферы тетраэдра, Σ – его полная поверхность (сумма площадей всех граней). Имеется и красивая формула, связывающая объём тетраэдра с радиусом R его описанной сферы (формула Крелле):

(6) ,

где Δ – площадь треугольника, стороны которого численно равны произведениям противоположных ребер (AB×CD, AC×BD,AD×BC). Из формулы (2) и теоремы косинусов для трехгранных углов (см. Сферическая тригонометрия) можно вывести формулу, аналогичную формуле Герона для треугольников:

(7) ,

где α, β, γ – плоские углы BDC, CDA, ADB при вершине D, δ = (α+β+γ)/2 – их полусумма.

Наконец, приведем векторную формулу:

(8) ,

где внутри модуля стоит смешанное произведение векторов. С помощью этой формулы можно вычислять объём тетраэдра, зная координаты его вершин.

 

school-collection.edu.ru

ML28. Объём тетраэдра | C++ для приматов

Найти объём тетраэдра три стороны которого образованы векторами [latex]\vec {a} = \left( x_a, y_a, z_a \right)[/latex], [latex]\vec {b} = \left( x_b, y_b, z_x \right)[/latex], [latex]\vec {c} = \left( x_c, y_c, z_c \right)[/latex].

Пояснительный рисунок к ML28

Входные данные

Координаты векторов [latex]\vec {a}[/latex], [latex]\vec {b}[/latex], [latex]\vec {c}[/latex].

Выходные данные

Объём тетраэдра.

Входные данные Выходные данные
[latex]x_a[/latex] [latex]y_a[/latex] [latex]z_a[/latex] [latex]x_b[/latex] [latex]y_b[/latex] [latex]z_b[/latex] [latex]x_c[/latex] [latex]y_c[/latex] [latex]z_c[/latex] [latex]V[/latex]
0 0 1 0 1 0 1 0 0 0.166667
3 6 3 1 3 -2 2 2 2 3
0 0 0 1 3 -2 2 2 2 0

#include <iostream>

using namespace std;

int main()

{

    double Ax, Ay, Az, Bx, By, Bz, Cx, Cy, Cz, V;

    cin >> Ax >> Ay >> Az >> Bx >> By >> Bz >> Cx >> Cy >> Cz; //Считывание координат векторов.

    V = (Ax * (By * Cz - Bz * Cy) - Bx * (Ay * Cz - Az * Cy) + Cx * (Ay * Bz - Az * By)) / 6.0; //Подсчитывание объёма.

    if (V < 0) V *= -1; //Определитель матрицы может быть отрицательным числом, объём - нет. Поэтому если объём отрицательный, умножаем его на -1.

    cout << V; //Вывод объёма.

}

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

import java.util.*;

 

public class Main

{

    public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception

    {

        Scanner in = new Scanner(System.in);

        double

            Ax = in.nextDouble(),

            Ay = in.nextDouble(),

            Az = in.nextDouble(),

            Bx = in.nextDouble(),

            By = in.nextDouble(),

            Bz = in.nextDouble(),

            Cx = in.nextDouble(),

            Cy = in.nextDouble(),

            Cz = in.nextDouble();

        double V = (Ax * (By * Cz - Bz * Cy) - Bx * (Ay * Cz - Az * Cy) + Cx * (Ay * Bz - Az * By)) / 6.0;

        if (V < 0) V *= -1;

        System.out.print(V);

    }

}

Так как тетраэдр построен на векторах [latex]\vec {a} = \left( x_a, y_a, z_a \right)[/latex], [latex]\vec {b} = \left( x_b, y_b, z_x \right)[/latex], [latex]\vec {c} = \left( x_c, y_c, z_c \right)[/latex], для данной задачи оптимальным решением будет использовать следующие формулы:

  1. [latex]V = \frac {|\Delta|} {6}[/latex], где [latex]V[/latex] — объём тетраэдра, а [latex]\Delta[/latex] — определитель матрицы.
  2. [latex] \Delta =\begin{vmatrix}x_a & y_a & z_a \\x_b & y_b & z_b \\x_c & y_c & z_c\end{vmatrix}= x_a \left(y_b z_c-z_b y_c \right)-x_b \left( y_a z_c-z_a y_c \right)+x_c \left( y_a z_b-z_a y_b \right)[/latex].

Итоги:

  • если значение определителя матрицы равно нулю, то либо некоторые из заданных векторов коллинеарны, либо нулевые, либо все они лежат в одной плоскости. Во всех этих случаях тетраэдр не может существовать, и программа выведет [latex]0[/latex];
  • если значение определителя не равно нулю, то программа вычислит объём тетраэдра. В случае, если определитель примет отрицательное значение, программа домножит значение объёма на [latex]-1[/latex], в результате чего оно станет положительным.

Понравилось это:

Нравится Загрузка...

Похожее

This entry was posted in 1. Линейные вычисления and tagged вектор, геометрия, матрица, матрицы, тетраэдр. Bookmark the permalink.

cpp.mazurok.com

Объем данного правильного тетраэдра 2. Правильные ответы. KakPravilno-Sdelat.ru

Главная » Правильные ответы

Объем тетраэдра

Рассмотрим произвольный треугольник ABC и точку D. не лежащую в плоскости этого треугольника. Соединим отрезками эту точку с вершинами треугольника ABC. В результате получим треугольники ADC. CDB. ABD. Поверхность ограниченная четырьмя треугольниками ABC. ADC. CDB и ABD называется тетраэдром и обозначается DABC. Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются его гранями.Стороны данных треугольников называют ребрами тетраэдра. А их вершины – вершинами тетраэдра

Тетраэдр имеет 4 грани. 6 ребер и 4 вершины .Два ребра, которые не имеют общей вершины, называются противоположными.Зачастую для удобства, одну из граней тетраэдра называют основанием. а оставшиеся три грани боковыми гранями.

Таким образом, тетраэдр – это простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника.

Но также верно и утверждение, что любая произвольная треугольная пирамида является тетраэдром. Тогда также верно, что тетраэдром называют пирамиду, в основании которой лежит треугольник.

Высотой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой, расположенной на противоположной грани и перпендикулярный к ней.Медианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой пересечения медиан противоположной грани.Бимедианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет середины скрещивающихся ребер тетраэдра.

Так как тетраэдр – это пирамида с треугольным основанием, то объем любого тетраэдра можно рассчитать по формуле

,

  • S – площадь любой грани,
  • H – высота, опущенная на эту грань

Правильный тетраэдр #8212; частный вид тетраэдра

Тетраэдр, у которого все грани равносторонние треугольник называется правильным.Свойства правильного тетраэдра:

  • Все грани равны.
  • Все плоские углы правильного тетраэдра равны 60
  • Так как каждая его вершина является вершиной трех правильных треугольников, то сумма плоских углов при каждой вершине равна 180
  • Любая вершина правильного тетраэдра проектируется в ортоцентр противоположной грани (в точку пересечения высот треугольника).

Пусть нам дан правильный тетраэдр ABCD с ребрами равными a. DH – его высота.Произведем дополнительные построения BM – высоту треугольника ABC и DM – высоту треугольника ACD .Высота BM равна BM и равна Рассмотрим треугольник BDM. где DH. являющаяся высотой тетраэдра также и высота данного треугольника.Высоту треугольника, опущенную на сторону MB можно найти, воспользовавшись формулой

Таким образом формула объема для правильного тетраэдра

где a –ребро тетраэдра

Вычисление объема тетраэдра, если известны координаты его вершин

Геометрических смысл смешенного произведения трех векторов заключается в следующем – смешенное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.Так как тетраэдр есть пирамида с треугольным основанием, а объем пирамиды в шесть раз меньше объема параллелепипеда, то тогда имеет смысл следующая формула

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия, задачи о пирамиде). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа квадратный корень применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак .

Теория

(теоретические сведения см. также в уроке Правильный тетраэдр )

Правильный тетраэдр - это правильная треугольная пирамида у которой все грани являются равносторонними треугольниками.

У правильного тетраэдра все двугранные углы при рёбрах и все трёхгранные углы при вершинах равны

У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 ребер.

Основные формулы для правильного тетраэдра приведены в таблице.

Где: S - Площадь поверхности правильного тетраэдра V - объем h - высота, опущенная на основание r - радиус вписанной в тетраэдр окружности R - радиус описанной окружности a - длина ребра

Практические примеры

Задача. Найдите площадь поверхности треугольной пирамиды, у которой каждое ребро равно √3

Решение. Поскольку все ребра треугольной пирамиды равны - она является правильной. Площадь поверхности правильной треугольной пирамиды равна S = a 2 √3. Тогда S = 3√3

Задача. Все ребра правильной треугольной пирамиды равны 4 см. Найдите объем пирамиды

Решение. Поскольку в правильной треугольной пирамиде высота пирамиды проецируется в центр основания, который одновременно является центром описанной окружности, то

AO = R = √3 / 3 a AO = 4√3 / 3

Таким образом, высота пирамиды OM может быть найдена из прямоугольного треугольника AOM

AO 2 + OM 2 = AM 2 OM 2 = AM 2 - AO 2 OM 2 = 4 2 - ( 4√3 / 3 ) 2 OM 2 = 16 - 16/3 OM = √(32/3) OM = 4√2 / √3

Объем пирамиды найдем по формуле V = 1/3 Sh При этом площадь основания найдем по формуле S = √3/4 a 2

V = 1/3 (√3 / 4 * 16 ) ( 4√2 / √3 ) V = 16√2 / 3

Ответ. 16√2 / 3 см

Решение задач с пирамидами (разные задачи)!

Здравствуйте, Дорогие друзья! В данной статье продолжим рассматривать задачи с пирамидами. Их нельзя отнести к какому-то классу или типу заданий, и дать общие рекомендации для решения. Я просто собрал оставшиеся задачи, не рассматриваемые ранее, и решил изложить их в одной статье.

Перечислю теорию, которую необходимо освежить в памяти перед решением: формула объёма пирамиды, свойства подобия фигур и тел, свойства правильных пирамид, теорема Пифагора, формула площади треугольника (в этой статье она вторая). Рассмотрим задачи:

От треугольной пирамиды, объем которой равен 80, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

Объём пирамиды равен одной трети произведения площади её основания и высоты:

Данные пирамиды (исходная и отсечённая) имеют общую высоту, поэтому их объемы соотносятся как площади их оснований. Средняя линия от исходного треугольника отсекает треугольник площадь которого в четыре раза меньше, то есть:

Подробнее об этом можно посмотреть здесь.

Это означает, что объём отсечённой пирамиды будет в четыре раза меньше.

Таким образом, он будет равен 20.

* Посмотрите решение аналогичной задачи, использована формула площади треугольника.

Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1. 2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.

Постоим пирамиду, обозначим вершины. Отметим на ребре AS точку Е, так чтобы AE была в два раза больше ES (в условии сказано, что ES относится к AE как 1 к 2), и построим указанную плоскость проходящую, через ребро АС и точку Е:

Проанализируем объём какой пирамиды будет больше: EABC или SEBC?

*Объём пирамиды равен одной трети произведения площади её основания и высоты:

Если рассмотреть две полученные пирамиды и в обеих принять за основание грань ЕВС, то становится очевидно, то объём пирамиды АЕВС будет больше объёма пирамиды SEBC. Почему?

Расстояние от точки А до плоскости ЕВС больше чем расстояние от точки S. А это расстояние играет у нас роль высоты.

Итак, найдём объём пирамиды ЕАВС.

Объём исходной пирамиды нам дан, основание у пирамид SАВС и ЕАВС общее. Если мы установим соотношение высот, то без труда сможем определить объём.

Из отношения отрезков ES и AE следует, что АЕ равно две третьих ES. Высоты пирамид SАВС и ЕАВС находятся в такой же зависимости - высота пирамиды ЕАВС будет равна 2/3 высоты пирамиды SАВС.

Таким образом, если

Объем правильной шестиугольной пирамиды 6. Сторона основания равна 1. Найдите боковое ребро.

В правильной пирамиде вершина проецируется в центр основания. Выполним дополнительные построения:

Найти боковое ребро мы можем из прямоугольного треугольника SOC. Для этого нужно знать SO и ОС.

SO это высота пирамиды, её мы можем вычислить используя формулу объёма:

Вычислим площадь основания. это правильный шестиугольник со стороной равной 1. Площадь правильного шестиугольника равна площади шести равносторонних треугольников с такой же стороной, подробнее об этом изложено здесь (п.6), итак:

ОС = ВС = 1, так как в правильном шестиугольнике отрезок соединяющий его центр с вершиной равен стороне этого шестиугольника.

Таким образом, по теореме Пифагора:

Объ ем тетраэдра равен 200. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются середины ребер данного тетраэдра.

Объем указанного многогранника равен разности объемов исходного тетраэдра V0 и четырех равных тетраэдров, каждый из которых получается отсечением плоскостью, проходящей через середины рёбер, имеющих общую вершину:

Определим, чему равен объём отсеченного тетраэдра.

Отметим, что исходный тетраэдр и «отсечённый» тетраэдр являются подобными телами. Известно, что отношение объёмов подобных тел равно k 3. где k - коэффициент подобия. В данном случае он равен 2 (так как все линейные размеры исходного тетраэдра в два раза больше соответствующих размеров отсечённого):

Вычислим объём отсечённого тетраэдра:

Таким образом, искомый объём будет равен:

Площадь поверхности тетраэдра равна 120. Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются середины ребер данного тетраэдра.

Искомая поверхность состоит из 8 равносторонних треугольников со стороной, вдвое меньшей ребра исходного тетраэдра. Поверхность исходного тетраэдра состоит из 16-ти таких треугольников (на каждой из 4 граней тетраэдра по 4 треугольника), поэтому искомая площадь равна половине площади поверхности данного тетраэдра и равна 60.

Так как известна площадь поверхности тетраэдра, то мы можем найти его ребро, затем определить длину ребра многогранника и далее вычислить площадь его поверхности.

Площадь поверхности тетраэдра состоит из четырёх равных по площади правильных треугольников. Пусть сторона такого треугольника (ребро тетраэдра) равна а, тогда можем записать:

Ребра многогранника равны его половине ребра тетраэдра, то есть:

*Они проходят через середины рёбер тетраэдра.

Многогранник имеет восемь равных граней являющихся правильными треугольниками, значит его площадь поверхности будет равна:

*Данное решение алгебраическое и рациональным его назвать никак нельзя, представлено как альтернативный вариант.

27115. От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

27175. Ребра тетраэдра равны 1. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.

27214. Объем тетраэдра равен 1,9. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются середины ребер данного тетраэдра.

А теперь для поднятия настроения ролик. Оказывается, что песня не только людей объединяет, но и животных 😉

На этом всё. Успеха Вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

  • Векторы
  • Вероятность
  • Видеокурсы
  • Вписанный угол, касательная
  • Выражения
  • Графики и диаграммы
  • Движение
  • Конкурсы
  • Координатная плоскость
  • НОВОСТИ
  • Округление
  • Онлайн-обучение
  • ПЕРЕМЕНА
  • Площади фигур
  • Приёмы (фишки)
  • Прогрессия
  • Производная
  • Простые вычисления
  • Простые уравнения
  • Проценты
  • Работа
  • Треугольники
  • Развитие личности
  • Стереом. КОНУС ЦИЛИНДР
  • Стереом. МНОГОГРАННИКИ
  • Стереометрия ПИРАМИДЫ
  • Стереометрия ПРИЗМЫ
  • Стереометрия ШАР
  • Угол на листе в клетку
  • Физические задачи
  • Формулы Теория
  • Функции (MAX MIN)
  • Четырёхугольники
  • №13 (C1) Урав-ия и системы
  • №14 (C2) Геометрия
  • Прототипы заданий 1-12

  • Задачи по номерам

    №1 №2 №3 №4 №5 №6 №7 №8 №9 №10 №11 №12 №13 №14 Баз №12

    Проект Математика? Легко. . Подготовка к ЕГЭ по математике! Свидетельство СМИ ПИ №ФС77-64081. Все права защищены © 1984-

    Друзья! К вам человеческая просьба: скопировали материал - поставьте ссылку. Спасибо! Александр Крутицких.

    Источники: http://2mb.ru/matematika/geometriya/obem-tetraedra/, http://profmeter.com.ua/communication/learning/course/course7/lesson264/, http://matematikalegko.ru/piramidi/reshenie-zadach-s-piramidami-raznye-zadachi.html

    Комментариев пока нет!

  • www.kak-sdelatpravilno.ru

    Объём тетраэдра

    Объём тетраэдра. В данной статье мы с вами рассмотрим несколько заданий с пирамидами. Как известно, тетраэдр также является пирамидой. Определение тетраэдра:

    Тетраэдр — это простейший многогранник, имеет 4 грани, которые являются треугольниками. Вершин у тетраэдра 4, к каждой вершине сходится 3 ребра, а всего ребер 6. Тетраэдр у которого грани равносторонние треугольники называется правильным.

    Объём пирамиды (значит и тетраэдра):

    S – площадь основания пирамиды  h – высота пирамиды

    Вычислим объём правильного тетраэдра при ребре равном величине a. 

    Тогда площадь каждой грани будет равна (в данном случае и основания АВС):

    Вычислим высоту SO. Рассмотрим прямоугольный треугольник SOC:

    *Известно, что биссектрисы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 1 к 2.

    Вычислим СM. По теореме Пифагора:

    Следовательно:

    Таким образом, объём тетраэдра будет равен:

    Смыл рассматриваемых ниже заданий таков – все ребра пирамиды, либо только высота увеличивается в несколько раз. Понятно, что при этом увеличивается объём пирамиды и площадь её поверхности. Далее требуется вычислить во сколько раз происходит это увеличение.

    1. Если увеличивается только высота пирамиды и стоит вопрос об изменении объёма, то понятно, что он увеличивается прямопропорционально исходному объёму пирамиды, так как зависимость линейная. Проще говоря, объём увеличивается во столько же раз, во сколько увеличена высота.

    2. Если речь идёт об увеличении всех рёбер пирамиды в определённое количество раз, то здесь необходимо понимать, что в итоге получается пирамида подобная исходной, причём её грани также подобны соответствующим граням полученной пирамиды.

    Позволю себе, на данный момент, по вопросу подобия фигур и тел предложить Вам обратиться к теории изложенной в учебнике. В скором будущем обязательно размещу отдельную статью на эту тему.

    Что касается представленной группы задач, то отмечу, что с использованием свойств подобия такие задания решаются практически в одно действие.

    Вот что необходимо помнить и знать:

    То есть, если мы увеличим все рёбра пирамиды в k раз, то отношение площади любой её грани к площади исходной соответствующей ей грани будет равно k2. Естественно, что отношение полных площадей поверхностей таких пирамид также будет равно  k2.

    А также:

    То есть, если мы увеличим все рёбра пирамиды в k раз, то отношение объёма полученной пирамиды к объёму исходной  будет равно k3. Рассмотрим задачи:

    Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в шестнадцать раз?

    Тетраэдр это пирамида, все грани которой равносторонние треугольники.

    Данная пирамида и пирамида полученная увеличением всех её рёбер в 16 раз будут являться подобными, коэффициент подобия соответственно будет равен 16.

    Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия. То есть, как уже сказано, объём полученной  пирамиды равен произведению куба коэффициента подобия и объёма исходной пирамиды:

    Определим во сколько раз увеличится объём, найдём отношение объёмов:

    Таким образом, если все ребра увеличить в 16 раз, то объём увеличится в  4096 раз.

    *Можно решить задачу по другому. Обозначить ребро тетраэдра как а, далее выразить его высоту. После этого определить объёмы пирамид используя формулу, а далее найти отношение полученных объёмов. Но такой путь будет неоправданно долгим и потребует в разы больше времени на решение.

    Ответ: 4096

    Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в двенадцать раз?

    Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания и высоты:

     S  – площадь основания

     h  – высота пирамиды

    При увеличении высоты в 12 раз, объем пирамиды также увеличится в 12 раз (это прямолинейная зависимость):

    Ответ: 12

    Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в пять раза?

    Отметим, что площадь поверхности тетраэдра равна сумме площадей его четырёх граней, которые являются правильными треугольниками.

    Первый способ:

    Определим площадь поверхности исходного тетраэдра и увеличенного, а затем найдём  отношение площадей.

    Пусть ребро тетраэдра равно а, тогда площадь грани будет равна:

    *Использовали формулу площади треугольника.

    Значит площадь поверхности исходного тетраэдра будет равна:

    Если рёбра тетраэдра увеличить в 5 раз, то площадь поверхности изменится следующим образом:

    Отношение площадей равно:

    Таким образом,  при увеличении ребер тетраэдра в пять раз, площадь его поверхности увеличится в 25 раз.

    Второй способ:

    Известно, что при увеличении (уменьшении) линейных размеров фигуры в k раз получается подобная ей фигура, их площади относятся как квадрат коэффициента подобия, то есть:

    k – это есть коэффициент подобия

    В данной задаче k=5.

    То есть, с использованием свойства подобия задача решается устно:

    *Площадь каждой грани пирамиды увеличится в 25 раз, а это означает, что площадь поверхности всей пирамиды также увеличится в 25 раз.

    Ответ: 25

    27172. Во сколько раз увеличится площадь поверхности пирамиды, если все ее ребра увеличить в 2 раза?

    Данная задача от предыдущей ничем не отличается. Не имеет никакого значения идёт ли речь о тетраэдре, пирамиде, кубе, параллелепипеде или о другом многограннике. Если сказано, что все рёбра увеличиваются в одинаковое число раз, то полученные грани «нового» тела будут подобны соответствующим граням исходного тела. А это значит, что увеличение площади поверхности произойдёт в k2 раз (где k это коэффициент подобия).

    Ответ: 4

    Можете посмотреть задачи с кубами. В них речь идёт об увеличении площади поверхности или объёма.

    Ещё одна задача такого же класса. Но в условии речь идёт об октаэдре. Октаэдр это многогранник с восьмью граниями, все гарани это правильные треугольники.

    27157. Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить в 3 раза?

    При увеличении рёбер в три раза каждая грань полученного октаэдра будет подобна соответствующей ей грани исходного.  Площадь каждай грани увеличится в 32 раз, то есть в 9 раз. Значит и площадь всей поверхности также увеличится в 9 раз.

    *Задача полностью аналогична  двум предыдущим задачам, только здесь речь идет об октаэдре. 

    27085. Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?

    Посмотреть решение

    27089. Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в четыре раза?

    Посмотреть решение

    27131. Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?

    Посмотреть решение

    На этом всё. Успеха Вам!

    С уважением, Александр.

    P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

    matematikalegko.ru

    dets:geometry [VF]

    Указатель — Разделы — Обозначения — Автор — О проекте

    Вспомогательная страница к разделу ☞ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ

    Уравнение прямой, проходящей через точки плоскости с координатами (x_{1},y_1) и (x_{2},y_2):

    \left| \begin{array}{lll} x & y & 1 \\ x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \end{array} \right|=0 \qquad \iff \qquad \left| \begin{array}{ll} x-x_1 & y-y_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 \end{array} \right|=0 .

    Уравнение окружности, проходящей через точки плоскости с координатами (x_{1},y_1) , (x_2,y_2) и (x_{3},y_3) (окружности, описанной вокруг треугольника):

    \left| \begin{array}{llll} x^2+y^2 & x & y & 1 \\ x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2& 1 \\ x_3^2+y_3^2 & x_3 & y_3& 1 \end{array} \right|=0 .

    При условии, что все три точки коллинеарны (лежат на одной прямой; см. ☞ ЗДЕСЬ ):

    \left| \begin{array}{lll} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{array} \right|=0

    окружность вырождается в прямую

    \left| \begin{array}{clll} 0 & x & y & 1 \\ x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2& 1 \\ x_3^2+y_3^2 & x_3 & y_3& 1 \end{array} \right|=0 .

    Координаты центра окружности, проходящей через точки (x_{1},y_1) , (x_2,y_2) и (x_{3},y_3):

    x_C=\frac{\left| \begin{array}{lll} x_1^2+y_1^2 & y_1 & 1 \\ x_2^2+y_2^2 & y_2& 1 \\ x_3^2+y_3^2 & y_3& 1 \end{array} \right|} {2\left| \begin{array}{lll} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{array} \right|},\quad y_C=-\frac{\left| \begin{array}{lll} x_1^2+y_1^2 & x_1 & 1 \\ x_2^2+y_2^2 & x_2& 1 \\ x_3^2+y_3^2 & x_3& 1 \end{array} \right|} {2\left| \begin{array}{lll} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{array} \right|} \ .

    Т

    Теорема [Птолемей]. Точки P_1=(x_{1},y_1) , P_2=(x_2,y_2), P_3 =(x_{3},y_3) и P_4=(x_{4},y_4) лежат на одной окружности или на одной прямой тогда и только тогда, когда выполнено равенство

    \left| \begin{array}{cccc} 0 & |P_1P_2|^2 & |P_1P_3|^2 & |P_1P_4|^2 \\ |P_1P_2|^2 & 0 & |P_2P_3|^2 & |P_2P_4|^2 \\ |P_1P_3|^2 & |P_2P_3|^2 & 0 & |P_3P_4|^2 \\ |P_1P_4|^2 & |P_2P_4|^2 & |P_3P_4|^2 & 0 \end{array} \right|=0 .

    Здесь |P_jP_k|^2=(x_j-x_k)^2+(y_j-y_k)^2.

    Доказательство, альтернативная геометрическая формулировка, а также пространственный аналог теоремы ☞ ЗДЕСЬ.

    Уравнение плоскости, проходящей через точки пространства с координатами (x_{1},y_1,z_1), (x_{2},y_2,z_2) и (x_{3},y_3,z_3):

    \left| \begin{array}{llll} x & y & z & 1 \\ x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \end{array} \right|=0 .

    Уравнение сферы, проходящей через точки (x_{1},y_1,z_1), (x_{2},y_2,z_2), (x_{3},y_3,z_3) и (x_{4},y_4,z_4):

    \left| \begin{array}{cllll} x^2+y^2+z^2 & x & y & z & 1 \\ x_1^2+y_1^2+z_1^2 & x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2^2+y_2^2+z_2^2 & x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3^2+y_3^2+z_3^2 & x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\ x_4^2+y_4^2+z_4^2 & x_4 & y_4 & z_4 & 1 \end{array} \right|=0 .

    При условии, что все четыре точки компланарны (лежат в одной плоскости; см. ☞ ЗДЕСЬ ):

    \left| \begin{array}{llll} x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\ x_4 & y_4 & z_4 & 1 \end{array} \right|=0

    сфера вырождается в плоскость. Координаты центра сферы:

    x_C=\frac{\left| \begin{array}{clll} x_1^2+y_1^2+z_1^2 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2^2+y_2^2+z_2^2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3^2+y_3^2+z_3^2 & y_3 & z_3 & 1 \\ x_4^2+y_4^2+z_4^2 & y_4 & z_4 & 1 \end{array} \right|}{2\,\left| \begin{array}{llll} x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\ x_4 & y_4 & z_4 & 1 \end{array} \right|},\ y_C=-\frac{\left| \begin{array}{clll} x_1^2+y_1^2+z_1^2 & x_1 & z_1 & 1 \\ x_2^2+y_2^2+z_2^2 & x_2 & z_2 & 1 \\ x_3^2+y_3^2+z_3^2 & x_3 & z_3 & 1 \\ x_4^2+y_4^2+z_4^2 & x_4 & z_4 & 1 \end{array} \right|}{2\,\left| \begin{array}{llll} x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\ x_4 & y_4 & z_4 & 1 \end{array} \right|},\ z_C=\frac{\left| \begin{array}{clll} x_1^2+y_1^2+z_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2^2+y_2^2+z_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\ x_3^2+y_3^2+z_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \\ x_4^2+y_4^2+z_4^2 & x_4 & y_4 & 1 \end{array} \right|}{2\,\left| \begin{array}{llll} x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\ x_4 & y_4 & z_4 & 1 \end{array} \right|}

    §

    Сформулированные выше геометрические задачи являются частными случаями общей задачи об ☞ ИНТЕРПОЛЯЦИИ.

    тетраэдра

    параллелепипеда

    эллипсоида

    [1]. Uspensky J.V. Theory of Equations. New York. McGraw-Hill. 1948

    pmpu.ru