Определения параллелепипеда. Основные свойства и формулы. Что такое диагональ параллелепипеда


Диагональ параллелепипеда. Формула. Как найти диагональ параллелепипеда?

Диагональ параллелепипеда. Формула. Как найти диагональ параллелепипеда?

  • Прямоугольным параллелепипедом (ПП) является ни что иное, как призма, основанием у которой прямоугольник. У ПП все диагонали равны, значит любая его диагональ рассчитывается по формуле:

    где

    Можно дать и другое определение, рассматривая декартову прямоугольную систему координат:

    Диагональ ПП это радиус-вектор любой точки пространства, заданной координатами x, y и z в декартовой системе координат. Этот радиус вектор к точке проводится из начала координат. А координатами точки будут проекции радиус-вектора (диагонали ПП) на координатные оси. Проекции совпадают с вершинами данного параллелепипеда.

  • Прямоугольный параллелепипед - это разновидность многогранника, состоящая из 6 граней, в основании которого прямоугольник. Диагональ - это отрезок, который соединяет противоположные вершины параллелограмма.

    Формула нахождения длины диагонали - квадрат диагонали равен сумме квадратов трех измерений параллелограмма.

  • Нашлась в интернете неплохая схема-таблица с полным перечислением всего, что есть в параллепипеде. Есть формула, чтобы найти диагональ, которая обозначается d.

    Есть изображение грани, вершины и других важных для параллепипеде вещей.

  • Если у прямоугольного параллелепипеда известны длина, высота и ширина (a,b,c) то формула для расчета диагонали будет выглядеть таким образом:

    Обычно учителя не предлагают своим ученикам quot;голуюquot; формулу, а прилагают усилия, чтобы те могли самостоятельно ее вывести, задавая наводящие вопросы:

    • что нужно узнать, какими данными мы располагаем?
    • какие свойства имеет прямоугольный параллелепипед?
    • применима ли здесь Теорема Пифагора? Как?
    • достаточное ли данных для применения теоремы Пифагора, или нужны еще какие-то расчеты?

    Обычно после ответа на поставленные вопросы, ученики без труда самостоятельно выводят данную формулу.

  • Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. Также как и диагонали его противоположных граней. Длину диагонали можно вычислить, зная длину рбер параллелограмма, исходящих из одной вершины. Эта длина равна корню квадратному из суммы квадратов длин его рбер.

  • Прямоугольный параллелепипед это один из так званных многогранников, который состоит из 6 граней, каждая из которых является прямоугольником. А диагональ - это отрезок, который соединяет противоположные вершины параллелограмма. Если длину, ширину и высоту прямоугольного параллелепипеда принять за a, b, c соответственно, то формула его диагонали ( D ) будет выглядеть следующим образом: D^2=a^2+b^2+c^2.

  • Диагональ прямоугольного параллелепипеда - это отрезок, соединяющий его противоположные вершины . Итак, у нас есть прямоугольный параллелепипед с диагональю d и со сторонами a, b, c . Одно из свойств параллелепипеда гласит, что квадрат длины диагонали d равен сумме квадратов трх его измерений a, b, c. Отсюда вывод, что длина диагонали может быть легко рассчитана по следующей формуле :

  • Квадрат диагонали, квадратного параллилепипеда (смотрите свойства квадратного параллепипеда) равна сумме квадратов трх его разных сторон (ширине, высоте, толщине), а соответственно диагонали квадратного параллепипеда равна корню из этой суммы.

  • Вспоминаю школьную программу по геометрии, можно сказать так: диагональ параллелепипеда равняется корню квадратному полученному из суммы его всех трех сторон (обозначаются они маленькими буквами a, b, c).

  • Длина диагонали прямоугольного параллепипеда равна корню квадратному из суммы квадратов его сторон.

  • Насколько мне известно еще со школьной программы, класс 9 если не ошибаюсь, и если не изменяет память , то диагональ прямоугольного параллелепипеда ровна корню квадратному суммы квадратов его всех трех сторон.

  • квадрат диагонали равен, сумме квадратов ширины , высоты и длинны , исходя с этой формулы получаем ответ , диагональ равно корню квадратному с суммы его трех разных измерений , буквами они позначаюnсz abc

  • info-4all.ru

    Свойства граней и диагоналей параллелепипеда

    Теорема. Во всяком параллелепипеде противоположные грани равны и параллельны.

    Так, грани (рис.) BB1С1С и AA1D1D параллельны, потому, что две пересекающиеся прямые BB1 и B1С1 одной грани параллельны двум пересекающимся прямым AA1 и A1D1 другой. Эти грани и равны, так как B1С1=A1D1, B1B=A1A (как противоположные стороны параллелограммов) и ∠BB1С1 = ∠AA1D1.

    Теорема. Во всяком параллелепипеде все четыре диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

    Возьмем (рис.) в параллелепипеде какие-нибудь две диагонали, например, AС1 и DB1, и проведем прямые AB1 и DС1.

    Так как ребра AD и B1С1 соответственно равны и параллельны ребру BС, то они равны и параллельны между собой.

    Вследствие этого фигура ADС1B1 есть параллелограмм, в котором С1A и DB1 - диагонали, а в параллелограмме диагонали пересекаются пополам.

    Это доказательство можно повторить о каждых двух диагоналях.

    Поэтому диагональ AC1 пересекается с BD1 пополам, диагональ BD1 с A1С пополам.

    Таким образом, все диагонали пересекаются пополам и, следовательно, в одной точке.

    Теорема. В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его измерений.

    Пусть (рис.) AC1 есть какая-нибудь диагональ прямоугольного параллелепипеда.

    Проведя AC, получим два треугольника: AC1С и ACB. Оба они прямоугольные:

    первый потому, что параллелепипед прямой, и следовательно, ребро СС1 перпендикулярно к основанию,

    второй потому, что параллелепипед прямоугольный, значит в основании его лежит прямоугольник.

    Из этих треугольников находим:

    AC21 = AC2 + СС21 и AC2 = AB2 + BC2

    Следовательно, AC21= AB2 + BC2 + СС21 = AB2 + AD2 + AA21

    Следствие. В прямоугольном параллелепипеде все диагонали равны.

    razdupli.ru

    Свойства параллелепипеда, с примерами

    Параллелепипеды бываю прямыми (боковое ребро перпендикулярно основанию) и наклонными.

    Параллелепипед, в основании которого лежит прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом.

    Грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противоположными (AA_{1}B_{1}B и DD_{1}C_{1}C), в противном случае – смежные (AA_{1}B_{1}B и BB_{1}C_{1}C).

    Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю (B_{1}D) параллелепипеда.

    Расстояние между плоскостями оснований называют высотой параллелепипеда. В прямом параллелепипеде высота совпадает с боковым ребром.

    Свойства параллелепипеда

    1. Противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны.
    2. Все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
    3. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины и высоты):

          \[B_{1}D^{2}=AB^{2}+AD^{2}+BB_{1}^{2}\]

    4. Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту:

          \[V=S_{\text{basic}}\cdot H\]

    5. Площадь боковой поверхности параллелепипеда равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро

          \[S_{\text{basic}}=P_{sec}\cdot l\]

    Примеры решения задач

    Понравился сайт? Расскажи друзьям!

    ru.solverbook.com

    Параллелепипед [wiki.eduVdom.com]

    Призма называется параллелепипедом, если её основания — параллелограммы. См.Рис.1.

    Рис.1

    Свойства параллелепипеда:

    • Противоположные грани параллелепипеда параллельны (т.е. лежат в параллельных плоскостях) и равны.

    • Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

    Параллелепипед является многогранником.

    Смежные грани параллелепипеда – две грани, имеющие общее ребро.

    Противоположные грани параллелепипеда – грани, не имеющих общих рёбер.

    Противоположные вершины параллелепипеда – две вершины, не принадлежащие одной грани.

    Диагональ параллелепипеда – отрезок, который соединяет противоположные вершины.

    Если боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований, то параллелепипед называется прямым.

    Прямой параллелепипед, основания которого – прямоугольники, называется прямоугольным. Призма, все грани которой - квадраты, называется кубом.

    Параллелепипед – призма, у которой основаниями служат параллелограммы.

    Прямой параллелепипед – параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны плоскости основания.

    Прямоугольный параллелепипед – это прямой параллелепипед, основаниями которого являются прямоугольники.

    Куб – прямоугольный параллелепипед с равными ребрами.

    Параллелепипедом называется призма, основание которой – параллелограмм; таким образом, параллелепипед имеет шесть граней и все они — параллелограммы.

    Противоположные грани попарно равны и параллельны. Параллелепипед имеет четыре диагонали; все они пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам. За основание может быть принята любая грань; объем равен произведению площади основания на высоту: V = Sh.

    Параллелепипед, четыре боковые грани которого — прямоугольники, называется прямым.

    Прямой параллелепипед, у которого все шесть граней — прямоугольники, называется прямоугольным. См.Рис.2.

    Рис.2

    Объем (V) прямого параллелепипеда равен произведению площади основания (S) на высоту (h): V = Sh .

    Для прямоугольного параллелепипеда, кроме того, имеет место формула V=abc , где a,b,c — ребра.

    Диагональ (d) прямоугольного параллелепипеда связана с его ребрами соотношением d2 = а2 + b2 + c2 .

    Прямоугольный параллелепипед – параллелепипед, у которого боковые рёбра перпендикулярны основаниям, а основания прямоугольниками.

    Свойства прямоугольного параллелепипеда:

    • В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней – прямоугольники.

    • Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.

    • Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений (длин трёх рёбер, имеющих общую вершину).

    • Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.

    Прямоугольный параллелепипед, все грани которого — квадраты, называется кубом. Все ребра куба равны; объем (V) куба выражается формулой V=a3, где a — ребро куба.

    Пример №1

    Пример №2

    demo 2014 c2 прямоугольный параллелепипед

    wiki.eduvdom.com

    Параллелепипед. Свойства и формулы. Примеры решения задач

    Параллелепипед – это геометрическая фигура, все 6 граней которой представляют собой параллелограммы.

    Параллелепипед

    В зависимости от вида этих параллелограммов различают следующие виды параллелепипеда:

    • прямой;
    • наклонный;
    • прямоугольный.

    Прямым параллелепипедом называют четырехугольную призму, ребра которой составляют с плоскостью основания угол 90 °.

    Прямоугольным параллелепипедом называют четырехугольную призму, все грани которой являются прямоугольниками. Куб есть разновидность четырехугольной призмы, у которой все грани и ребра равны между собой.

    Свойства параллелепипеда

    Особенности фигуры предопределяют ее свойства. К ним относят 4 следующих утверждений:

    1. Противолежащие ребра и грани фигуры параллельны и равны между собой. 1 свойство параллелепипеда
    2. Углы сонаправленных сторон равны между собой. На фотографии ниже представлено графическое изображение сонапрвленных лучей OA и O1А1. Прямая рассекает пространство на две плоскости. Если лучи расположены в одной полуплоскости и параллельны друг другу, то их называют сонаправленными. 2 свойство параллелепипеда
    3.  4 главные диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке внутри фигуры. Любой отрезок, проведенный между двумя плоскостями граней, через данную точку будет поделен ею пополам. Следствием данного свойства можно сформулировать следующим образом: плоскости, в которых лежат главные диагонали параллелепипеда, симметрично делят геометрическое тело. 3 свойство параллелепипеда
    4. Согласно теореме Пифагора, квадрат диагонали параллелепипеда равен сумме квадратов ее измерений. 4 свойство параллелепипеда

    Запомнить все приведенные свойства просто, они легки для понимания и выводятся логически исходя из вида и особенностей геометрического тела. Однако, незамысловатые утверждения могут быть невероятно полезны при решении типовых заданий ЕГЭ и позволят сэкономить время необходимое для прохождения теста.

    Формулы параллелепипеда

    Для поиска ответов на поставленную задачу недостаточно знать только свойства фигуры. Также могут понадобиться и некоторые формулы для нахождения площади и объема геометрического тела.

    объем параллелепипеда

    Площадь оснований находится также как и соответствующий показатель параллелограмма или прямоугольника. Выбирать основание параллелограмма можно самостоятельно. Как правило, при решении задач проще работать с призмой, в основании которой лежит прямоугольник.

    Формула нахождения боковой поверхности параллелепипеда, также может понадобиться в тестовых заданиях.

    боковая площадь параллелепипеда

    Примеры решения типовых заданий ЕГЭ

    Задание 1.

    Дано: прямоугольный параллелепипед с измерениями 3, 4 и 12 см.Необходимо найти длину одной из главных диагоналей фигуры.Решение: Любое решение геометрической задачи должно начинаться с построения правильного и четкого чертежа, на котором будет обозначено «дано» и искомая величина. На рисунке ниже приведен пример правильного оформления условий задания.

    Фото для задачи 1

    Рассмотрев сделанный рисунок и вспомнив все свойства геометрического тела, приходим к единственно верному способу решения. Применив 4 свойство параллелепипеда, получим следующее выражение:

    Решение задания 1

    После несложных вычислений получим выражение b2=169, следовательно, b=13. Ответ задания найден, на его поиск и чертеж необходимо потратить не более 5 минут.

    Задание 2.

    Дано: наклонный параллелепипед с боковым ребром 10 см, прямоугольник KLNM с измерениями 5 и 7 см, являющийся сечением фигуры параллельным указанному ребру.Необходимо найти площадь боковой поверхности четырехугольной призмы.Решение: Сначала необходимо зарисовать дано.

    Фото для задачи 2

    Для решения данного задания необходимо применить смекалку. Из рисунка видно, что стороны KL и AD – неравны, как и пара ML и DC. Однако, периметры данных параллелограммов очевидно равны.

    Следовательно, боковая площадь фигуры будет равна площади сечения помноженной на ребро AA1, так как по условию ребро перпендикулярно сечению. Ответ: 240 см2.

    Похожие статьи

    Рекомендуем почитать:

    karate-ege.ru

    Как найти диагональ параллелепипеда

    Как найти диагональ параллелепипедаБудем рассматривать прямоугольный параллелепипед. Он образуется из призмы, в основании которой находится прямоугольник.Диагональю такого параллелепипеда называют отрезок прямой, который соединяет точки противоположных вершин любого параллелепипеда.Существует свойство такого прямоугольного параллелепипеда, согласно которому квадрат его диагонали численно равен сумме квадратов всех его трех измерений. Имеется в виду его высота, длина и ширина:

        \[{diagonal'.pryam.paral-da}^2={dlina}^2+{shirina}^2+{visota}^2\]

    Согласно этому свойству найдем длину его диагонали. Для этого нужно извлечь корень квадратный из обеих частей уравнения. Получим:

        \[\sqrt{{diagonal'.pryam.paral-da}^2}=\sqrt{{dlina}^2+{shirina}^2+{visota}^2}\]

        \[diagonal'.pryam.paral-da=\sqrt{{dlina}^2+{shirina}^2+{visota}^2}\]

    Длины диагоналей у прямоугольного параллелепипеда (ПП) равны, поэтому с помощью полученной формулы можно вычислить длину любой из его диагоналей.Рассмотрим в декартовой системе координат (ДСК) прямоугольный параллелепипед. Его диагональю является радиус-вектор (РВ) любой точки в пространстве, которая задана соответствующими координатами (х; у; z) в рассматриваемой системе координат. Рассматриваемый радиус-вектор проводят из начала координат к точке. Координаты точки — это проекции радиус-вектора (или диагонали прямоугольного параллелепипеда) на оси координат. Проекции являются вершинами заданного параллелепипеда:

        \[\overrightarrow{radius-vektor}=x\overrightarrow{e_x}+y\overrightarrow{e_y}+z\overrightarrow{e_z}=\left\{x,\ y,\ z\right\}\]

    ru.solverbook.com

    Диагональ прямоугольного параллелепипеда | Онлайн калькулятор

    Параллелепипед - это частный случай призмы, в основании которой лежит прямоугольник с длиной a и шириной b. Двигаясь по вертикальной или наклонной оси на определенную высоту c, данный прямоугольник создает объемное тело, именуемое параллелепипедом.

    Параллелепипед по определению может быть наклонным или прямым, то есть угол между высотой и прямоугольником в основании варьируется от 0 до 90 градусов. Прямой параллелепипед имеет в качестве граней исключительно прямоугольники, и даже иногда квадрат (в основании), поэтому решение задач с его участием значительно облегчено. В случае с наклонным параллелепипедом в формулах необходимо учитывать, что боковой гранью является параллелограмм, строение которого зависит также от угла его наклона.

    Помимо трех вышеуказанных параметров параллелепипеда - длины, ширины высоты, являющихся его ребрами, в данном теле можно также провести еще несколько отрезков, соединяющих его вершины. Как и в геометрических фигурах на плоскости, линии, проходящие внутри основного каркаса через вершины, называются диагоналями. Диагонали боковых граней прямоугольного параллелепипеда идентичны диагоналям прямоугольников, которыми представлены грани - их, соответственно, можно вычислить, используя подходящий онлайн калькулятор для прямоугольников.

    Другое дело - диагональ, проходящая не по внешней поверхности прямоугольного параллелепипеда, а сквозь него, соединяя противоположные вершины верхнего и нижнего оснований. При этом, какая именно пара противоположных вершин соединена, не имеет значения для расчетов, так как если рассмотреть сечения, можно увидеть, что обе диагонали параллелепипеда идентичны и найти их можно одним и тем же способом.

    Итак, для того чтобы вывести формулу диагонали через длину, ширину и высоту, необходимо заключить диагональ в плоскую геометрическую фигуру, свойства которой можно будет использовать. Для этого в любом основании - верхнем или нижнем, проводится диагональ, которая образует с диагональю параллелепипеда и боковым ребром (высотой) прямоугольный треугольник. Применив одну лишь теорему Пифагора, можно найти диагональ основания через ширину и длину,а затем диагональ прямоугольного параллелепипеда, добавив в расчеты высоту.

    Используя последнюю и предпоследнюю формулу, можно также успешно найти длину, ширину или высоту прямоугольного параллелепипеда, имея в заданных условиях три параметра из четырех, включая диагональ параллелепипеда. Например:

    allcalc.ru